Análisis complejo

Materia: Análisis Real y Complejo
Departamento: Matemática Aplicada
Créditos ECTS: 6
Semestre: 5
Carácter: Obligatoria

Resultados de aprendizaje

• Conocer el plano complejo y las funciones complejas elementales. Saber calcular derivadas, las condiciones de Cauchy-Riemann, y las funciones armónicas. Conocer la integración compleja: integrales sobre caminos, teorema de Cauchy y fórmula integral de Cauchy.
• Conocer el concepto de función holomorfa, desarrollar en serie de potencias, y conocer los teoremas del módulo máximo y de Liouville. Estudiar las singularidades aisladas y su clasificación mediante las series de Laurent, el teorema de los residuos. Aplicar lo anterior al cálculo de valores propios de integrales reales.
• Estudiar las transformaciones conformes y las transformadas integrales (Laplace y Fourier).
• Desarrollar en serie de funciones ortogonales, incidiendo especialmente en la serie clásica trigonométrica de Fourier, de la que se estudiará su convergencia.
• Modelizar matemáticamente problemas reales y conocer las técnicas para resolverlos.
• Utilizar diversas técnicas para la resolución de problemas con ayuda de software matemático.   

Breve descripción de los contenidos

1. Números complejos. Esfera de Riemann. Funciones complejas.
2. Derivación. Condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones holomorfas.
3. Integración compleja. Fórmula integral de Cauchy.
4. Series de potencias y series de Laurent. Residuos y polos.
5. Series ortogonales y de Fourier. Series trigonométricas.

Bibliografía

1. Ahlfors, L.V. Complex Analysis, MacGraw-Hill, Singapore, 1979.
2. Brown, J.W., Churchill, R.V. Variable compleja y aplicaciones, McGrawHill, Madrid, 2010.
3. Marsden, J.E., Hoffman, M.J. Basic Complex Analysis, W.H.Freeman, New York, 1999.
4. Saff, E.B., Snider, A.D. Fundamental of complex analysis with applications to Engineering and Science, Pearson Education International, New Jersey, 2003.